6.1
Anti-turunan, Integral Taktentu
Teorema 6.1.1.
Diberikan tiga bilangan real $a,x,b$ dengan $a\leq x\leq b$ dan $f$
fungsi kontinu dan bernilai tak-negatif pada interval $[a,b]$. Jika
$L(x)$ menyatakan luas dari suatu daerah yang dibatasi sumbu-$x$ dan
kurva dari suatu fungsi $f$ atas interval $[a,x]$
atau untuk $x=b$, maka
atau untuk $x=b$, maka
Definisi 6.1.1.
Suatu fungsi $F$ disebut anti-turunan dari fungsi $f$ pada interval
$I$, jika $F'(x)=f(x)$ untuk semua $x$ dalam $I$.
Teorema 6.1.2.
Jika $F(x)$ sebarang anti-turunan dari $f(x)$ pada interval tertentu,
maka untuk sebarang nilai $C$ fungsi $F(x)+C$ juga anti-turunan dari
$f(x)$ pada interval tersebut; selanjutnya setiap anti-turunan dari
$f(x)$ pada interval tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk $F(x)+C$,
dengan $C$ konstan.
Simbol $dx$ dalam operasi diferensiasi dan integrasi berperan untuk mengenali peubah bebasnya. $$\frac{d}{dx}[\quad]\quad \text{dan} \quad \int[\quad]dx$$
| Rumus Diferensiasi | Rumus Integrasi |
|---|---|
| \(\displaystyle \frac{d}{dx} [x] = 1\) | \(\displaystyle \int dx = x + C\) |
| \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right] = x^n,\quad (n \neq -1)\) | \(\displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad (n \neq -1)\) |
| \(\displaystyle \frac{d}{dx} [\sin x] = \cos x\) | \(\displaystyle \int \cos x \,dx = \sin x + C\) |
| \(\displaystyle \frac{d}{dx} [-\cos x] = \sin x\) | \(\displaystyle \int \sin x \,dx = -\cos x + C\) |
| \(\displaystyle \frac{d}{dx} [\tan x] = \sec^2 x\) | \(\displaystyle \int \sec^2 x \,dx = \tan x + C\) |
| \(\displaystyle \frac{d}{dx} [-\cot x] = \csc^2 x\) | \(\displaystyle \int \csc^2 x \,dx = -\cot x + C\) |
| \(\displaystyle \frac{d}{dx} [\sec x] = \sec x \tan x\) | \(\displaystyle \int \sec x \tan x \,dx = \sec x + C\) |
| \(\displaystyle \frac{d}{dx} [-\csc x] = \csc x \cot x\) | \(\displaystyle \int \csc x \cot x \,dx = -\csc x + C\) |
Teorema 6.1.3.(Sifat-Sifat Integral Tertentu)
- Faktor konstan dapat dipindah melewati tanda integral, yaitu $$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx.$$
- Anti-turunan dari jumlahan fungsi adalah jumlahan anti-turunan suku-sukunya, yaitu $$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.$$
- Anti-turunan dari selisih dua fungsi adalah selisih anti-turunan, yaitu $$\int [f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx.$$
Contoh 1
Hitung integral $$\int\frac{1}{1+\sin x}dx.$$
Pembahasan
Pertama-tama, sederhanakan bentuk integran ke bentuk umum yang
kita kenal. Caranya adalah dengan mengalikan pembilang dan
penyebut dengan $1+\sin x$. \begin{align*} \int\frac{1}{1+\sin
x}dx&=\int\frac{1}{1+\sin x}.\frac{1-\sin x}{1-\sin x}dx\\ &=\int
\frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}dx\\ &=\int \frac{1-\sin
x}{1-\sin^2 x}dx\\ &=\int \frac{1-\sin x}{\cos^2}dx\\ &=\int
\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos^2 x}dx\\ &=\int
\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos x}.\frac{1}{\cos x}dx\\
&=\int \sec^2 x-\tan x\sec xdx\\ &=\int \sec^2 xdx-\int \sec x\tan
xdx \end{align*} Ingat bahwa $$\int \sec^2 xdx=\tan x+C \quad
$$dan$$\quad \int \sec x\tan xdx=\sec x+C.$$ Adapun konstanta yang
dijumlahkan dengan konstanta tetap merupakan suatu konstanta.
$$\int\frac{1}{1+\sin x}dx=\int \sec^2 xdx-\int \sec x\tan
xdx=\tan x-\sec x+C$$
Contoh 2 (EAS 2019/2020)
Tentukan fungsi $f$ sedemikian hingga $f'(x)+\sin x=0$ dan $f(0)=2$.
Pembahasan
Perhatikan bahwa $$f'(x)+\sin x=0\implies f'(x)=-\sin x$$ Fungsi
$f(x)$ dapat kita cari dengan mengintegralkan $f'(x)$. Diketahui
$\int \sin xdx=-\cos x+C$. \begin{align*} f(x)&=\int -\sin xdx\\
&=-\int \sin xdx\\ &=-(-\cos x+C)\\ f(x)&=\cos x+C\quad
\text{(konstanta yang dikalikan -1 tetaplah konstanta)}
\end{align*} Selanjutnya akan dicari nilai $C$. \begin{align*}
f(0)&=2\\ \cos (0)+C&=2\\ 1+C&=2\\ C&=1 \end{align*} Dengan
demikian, diperoleh $f(x)=\cos x+1$.
Latihan!
Hitung integral berikut. $$\int \sin^2(x/2)dx$$
Jawab:
EAS 2019/2020
Dapatkan $g(t)$ jika $\displaystyle \int
g(t)dt=\frac{1}{\sqrt{4-t^2}}+C$.
Jawab: